速通贝叶斯定理

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虽然有一堆符号定义，但应该比那些堆砌数字做例子的解释要清晰……

假设有两个事件： HH （假设）和 EE （证据/结果）。

P(H)P(H) 表示 HH 发生的概率，即在没有任何新证据前，对假设成立的相信程度。

P(E)P(E) 表示 EE 发生的总体概率，即不考虑假设 HH 是否成立，单独观察 EE 发生的概率。

P(E∣H)P(E∣H) 表示在 HH 发生的前提下， EE 发生的概率。也即假设成立的话，我们观察到这个结果发生的可能性有多大。

P(H∣E)P(H|E) 表示在 EE 发生的前提下， HH 发生的概率。也即证据出现了，我们反过来判断假设成立的可能性。

P(H∩E)P(H \cap E) 表示「 HH 和 EE 同时发生」的概率，也称为联合概率。

从逻辑上看，我们可以通过两个路径计算同一个联合概率 P(H∩E)P(H \cap E) ：

路径一：原因推结果

先假设 HH 成立，再观察结果 EE 是否出现：

P(H∩E)=P(H)×P(E∣H)P(H \cap E)=P(H)\times P(E|H)

即：先看假设 HH 成立的可能性，再看如果 HH 成立，出现证据 EE 的可能性。两者相乘，就是 HH 和 EE 同时发生的概率。

路径二：结果推原因

先观察到证据 EE ，再反过来判断 HH 是否成立：

P(H∩E)=P(E)×P(H∣E)P(H \cap E)=P(E)\times P(H|E)

即：先看证据 EE 出现的总体可能性，再看在证据 EE 已经出现的情况下，假设 HH 成立的可能性。两者相乘，就是 HH 和 EE 同时发生的概率。

因为这两个路径描述的是同一个事实—— HH 和 EE 同时发生——所以它们必然相等：

P(E∣H)×P(H)=P(H∣E)×P(E)P(E|H) \times P(H) = P(H|E) \times P(E)

将等式两边同时除以 P(E)P(E) ，我们就得到贝叶斯定理的标准形式：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H)P(E)P(H|E) = \frac{P(E|H) \times P(H)}{P(E)}